Kamis, 18 Oktober 2012

Cara Mencari Akar tanpa Kalkulator

Setelah Iseng-iseng baca bukunya David Darling yang judulnya The Universal Book of Mathematics. Di dalamnya ada subjudul yaitu “Bakhshali manuscript”

jadi pengin posting artikel dengan judul cara mencari akar tanpa kalkulator




Entah itu apa artinya, tetapi ada rumus yang menarik untuk saya pelajari. Akhirnya saya pelajari rumus tersebut dan berikut laporannya :
Hasil dari perhitungan akar kuadrat dengan menggunakan rumus ini sangat mendekati dengan hasil sebenarnya.
Rumusnya adalah sebagai berikut :


\sqrt{N}= \sqrt{A^2+b} \approx A+ \frac{b}{2A}- \frac{( \frac{b}{2A})^2}{2(A+ \frac{b}{2A})}


Dengan, N adalah sebarang bilangan asli atau bilangan cacah
A adalah bilangan asli yang jika dikuadratkan nilainya sangat mendekati N
Dan b adalah b=N-A^2


Misalnya untuk menghitung \sqrt{13}, maka kita pilih A=3 sehingga A^2=9 sangat mendekati 13. Sehingga, b=4, maka


\sqrt{13}= \sqrt{3^2+4}=3,606060606...


Nilai yang sebenarnya adalah \sqrt{13}=3,605551275...


Berikut ini adalah beberapa nilai untuk \sqrt{N} sampai dengan N=99


n \sqrt{n} Menggunakan Rumus
1 1 1
2 1,414213562 1,416666667
3 1,732050808 1,75
4 2 2
5 2,236067977 2,236111111
6 2,449489743 2,45
7 2,645751311 2,647727273
8 2,828427125 2,833333333
9 3 3
10 3,16227766 3,162280702
11 3,31662479 3,316666667
12 3,464101615 3,464285714
13 3,605551275 3,606060606
14 3,741657387 3,742753623
15 3,872983346 3,875
16 4 4
17 4,123105626 4,123106061
18 4,242640687 4,242647059
19 4,358898944 4,358928571
20 4,472135955 4,472222222
21 4,582575695 4,58277027
22 4,69041576 4,690789474
23 4,795831523 4,796474359
24 4,898979486 4,9
25 5 5
26 5,099019514 5,099019608
27 5,196152423 5,196153846
28 5,291502622 5,291509434
29 5,385164807 5,385185185
30 5,477225575 5,477272727
31 5,567764363 5,567857143
32 5,656854249 5,657017544
33 5,744562647 5,744827586
34 5,830951895 5,831355932
35 5,916079783 5,916666667
36 6 6
37 6,08276253 6,082762557
38 6,164414003 6,164414414
39 6,244997998 6,245
40 6,32455532 6,324561404
41 6,403124237 6,403138528
42 6,480740698 6,480769231
43 6,557438524 6,557489451
44 6,633249581 6,633333333
45 6,708203932 6,708333333
46 6,782329983 6,782520325
47 6,8556546 6,855923695
48 6,92820323 6,928571429
49 7 7
50 7,071067812 7,071067821
51 7,141428429 7,141428571
52 7,211102551 7,211103253
53 7,280109889 7,280112045
54 7,348469228 7,348474341
55 7,416198487 7,416208791
56 7,483314774 7,483333333
57 7,549834435 7,549865229
58 7,615773106 7,615821095
59 7,681145748 7,681216931
60 7,745966692 7,746068152
61 7,810249676 7,81038961
62 7,874007874 7,874195624
63 7,937253933 7,9375
64 8 8
65 8,062257748 8,062257752
66 8,124038405 8,124038462
67 8,185352772 8,185353053
68 8,246211251 8,246212121
69 8,306623863 8,30662594
70 8,366600265 8,366604478
71 8,426149773 8,426157407
72 8,485281374 8,485294118
73 8,544003745 8,544023723
74 8,602325267 8,602355072
75 8,660254038 8,660296763
76 8,717797887 8,717857143
77 8,774964387 8,775044326
78 8,831760866 8,831866197
79 8,888194417 8,88833042
80 8,94427191 8,944444444
81 9 9
82 9,055385138 9,05538514
83 9,110433579 9,110433604
84 9,16515139 9,165151515
85 9,219544457 9,219544846
86 9,273618495 9,273619428
87 9,327379053 9,327380952
88 9,38083152 9,380834977
89 9,433981132 9,433986928
90 9,486832981 9,486842105
91 9,539392014 9,539405685
92 9,591663047 9,591682723
93 9,643650761 9,643678161
94 9,695359715 9,695396825
95 9,746794345 9,746843434
96 9,797958971 9,798022599
97 9,848857802 9,848938826
98 9,899494937 9,899596524
99 9,949874371 9,95


Selisih terbesarnya ada pada \sqrt{3}, yaitu mempunyai selisih 0,017949192
Selisih terbesar kedua ada pada \sqrt{8}, yaitu mempunyai selisih 0,004906209


Jika diperhatikan, dengan menggunakan rumus tersebut. Nilai dari \sqrt{82} mempunyai tingkat ketelitian yang bagus dibandingkan nilai dari \sqrt{99}. Begitu juga untuk \sqrt{65} dengan \sqrt{80}. Begitu juga \sqrt{50} dibandingkan dengan \sqrt{63}.


Jika yang kita hitung adalah yang kurang dari dan mendekati suatu kuadrat sempurna, maka tingkat ketelitiannya kurang bagus. Berbeda dengan jika yang kita hitung adalah yang lebih besar dari dan mendekati suatu kuadrat sempurna. Tingkat ketelitiannya sangatlah bagus.


Untuk menyiasati hal ini, kami mencoba untuk mengambil kasus jika nilai A^2 melebihi dari nilai N tetapi masih sangat dekat dengan N, tentu nilai b akan negatif.
Beberapa tabelnya untuk N mulai dari 81 sampai 100 adalah sebagai berikut :


N \sqrt{N} Rumus untuk b negatif
81 9 9,000138122
82 9,055385138 9,055494505
83 9,110433579 9,110519126
84 9,16515139 9,165217391
85 9,219544457 9,219594595
86 9,273618495 9,273655914
87 9,327379053 9,327406417
88 9,38083152 9,380851064
89 9,433981132 9,433994709
90 9,486832981 9,486842105
91 9,539392014 9,539397906
92 9,591663047 9,591666667
93 9,643650761 9,64365285
94 9,695359715 9,695360825
95 9,746794345 9,746794872
96 9,797958971 9,797959184
97 9,848857802 9,848857868
98 9,899494937 9,899494949
99 9,949874371 9,949874372
100 10 10,00010284


Dapat kita lihat bahwa Nilai dari \sqrt{99} mempunyai tingkat ketelitian yang bagus dibandingkan nilai dari \sqrt{82}
Dan nilai dari suatu kuadrat sempurna itu sendiri jadi tidak sama dengan nilai yang sebenarnya.


Dapat disimpulkan di sini! Untuk mendapatkan nilai dengan ketelitian yang bagus.
Jika kita menghitung suatu bentuk akar yang nilainya sangat mendekati suatu kuadrat sempurna, dan nilainya kurang dari kuadrat sempurna (mendekati dari bawah), maka kita gunakan b dengan nilai negatif. Dan nilai A^2 sama dengan bilangan kuadrat sempurna yang didekati.
Begitu juga sebaliknya.


Intinya! Gunakan nilai A dan b sedemikian sehingga nilai A^2 sangat dekat dengan N


Tidak ada komentar:

Poskan Komentar